Что вижу - о том пою (aragont) wrote,
Что вижу - о том пою
aragont

Математический гёмбёц

Напомню краткое содержание предыдущей заметки.
Если вырезать из картона произвольную фигуру и прислонить её к стенке, то выяснится, что у неё есть несколько устойчивых положений равновесия и несколько неустойчивых. Максималистом является круг - бесконечно много устойчивых положений, а минималистом - эллипс - два устойчивых положения равновесия на боках и два неустойчивых на остриях.

Вопрос: можно ли вырезать из картона (без грузиков и дырок внутри) фигуру, которая бы обладала свойствами кулы-неваляшки - одно неустойчивое положение (на голове) и одно устойчивое.

Предлагаю математический способ построения такой фигуры:

Возьмём идеальный круг и добавим к нему отрезок. Получится фигура с двумя неустойчивыми и двумя устойчивыми положениями.
gembec3.jpg

Теперь рассмотрим устойчивые положения. Они характеризуются расстоянием L от точки упора отрезка до точки касания круга. В силу симметрии, расстояния L1 и L2 (первое и второе устойчивые положения) будут равны.
Если провести простейшие расчёты, то L1=L2=корень квадратный из (l+R)2-R2=корень квадратный из 2lR+l2

Теперь рассмотрим случай, когда l стремится к нулю

Очевидно, что положения устойчивого равновесия L1 и L2 так же стремятся к нулю, а неустойчивое равновесие остаётся на прежнем месте. В пределе устойчивые положения сливаются в одну точку и мы получаем гёмбёц.

Гёмбёц - это круг, к которому пририсован отрезок нулевой длины. Отрезок перетягивает равновесие на себя. но, поскольку он нулевой, не упирается в поверхность, а становится самой нижней точкой фигуры.

Цитата из Википедии: "Главным свойством гёмбёца, ради которого его и построили, является возврат к одному и тому же положению из любого другого на ровной плоскости под воздействием силы тяжести. Это свойство достигается благодаря его особой выпуклой, округлой форме. По виду гёмбёц достаточно близок к сфере, из-за чего, очевидно, и получил своё название."


С сайта mir24.tv: "При изготовлении он требует точности более десяти микрон, что тоньше человеческого волоса, именно поэтому готовый гембец стоит более 1000 евро!"

Это и понятно - сделать выступ нулевого размера требует точности существенно большей чем десять микрон.
Tags: математика
Subscribe

  • Олимпиада

    Если когда-нибудь ваши внуки спросят вас: В каком году проходила Олимпиада 2020 года? — смело отвечайте: В 2021 году, поскольку ковид повлиял не…

  • Калёными клещами

    В современной хирургии калёные клещи называются стерилизованными.

  • Комплекс неполноценности

    Ему всю жизнь чего-нибудь не додавали. В семье он был средним ребёнком. Отец любил старшего, мама младшую и оба они не додавали ему родительской…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments