Что вижу - о том пою (aragont) wrote,
Что вижу - о том пою
aragont

Categories:

Мистические полумонеты

Математик знает не только бесконечности и трансфинитности, но также и отрицательные вероятности. Если нечто должно произойти наверное, его вероятность равна единице. Если же явление совсем не может произойти, она равна нулю. Оказывается, что может случиться нечто меньшее, чем просто ненаступление события.
(С. Лем. Сумма технологии)

Математика описывает очень странные вещи, которые не имеют аналогов в нашем мире. Простейший пример — это отрицательные числа. Мы научились ими оперировать в школе, и потому, они кажутся нам нормальными. Теперь представьте, что мы научились делать отрицательные объекты в реальном мире. Не знаю, как будет выглядеть минус одно яблоко, но если оно будет лежать в корзине, то обычное яблоко, положенное в ту же корзину, должно немедленно исчезнуть.

Венгерский математик Габор Секей считает, что вероятность наступления событий — эта такая же абстракция как и число. Если для вычислений удобно считать, что у некоторых событий отрицательная вероятность — пусть так и будет, главное, чтобы окончательный результат вычислений можно было бы интерпретировать некоторым разумным способом.

Для демонстрации своего подхода к вероятностям Г. Секей изобрёл в 2005 году воображаемые предметы для игры в орлянку — полумонеты. Идея полумонет такова:

В математике давно известны формулы вероятности для сложения независимых случайных величин. Например, если обозначить стороны монеты как 0 и 1, то при однократном броске выпавшие числа и их вероятности будут равны 0:1/2 и 1:1/2. При двух бросках монеты (или броске двух монет) сумма выпавших чисел будет подчиняться закону 0:1/4, 1:1/2, 2:1/4, при трёх - последовательность будет 0:1/8, 1:3/8, 2:3/8, 3:1/8 и т.д.

Г. Секей задумался, а нельзя ли этот закон продолжить в обратном направлении и рассчитать вероятности для полумонеты, которая при двух бросках давала бы в сумме те же числа, что и одна монета при одном броске.

В результате появился мистический предмет с бесконечным числом сторон, которые пронумерованы 0, 1, 2,... и так до бесконечности. Нечётные стороны выпадают с положительной вероятностью, а чётные с отрицательной. Сумма всех вероятностей, как и положено, равна единице, а сумма двух чисел, выпавших при двух бросках полумонеты, будет равна единице или нулю с вероятностью одна вторая.

Дальше расположен перевод статьи 2005 года Gábor J. Székely. Half of a Coin: Negative Probabilities. (оригинал).

Я позволил себе в не совсем понятных из-за краткости местах вставить развернутый текст, отражающий мое понимание того, о чём идёт речь. Кроме того я не до конца уверен в правильности перевода формулировки фундаментальной теоремы в главе 4 и интерпретации финансового уравнения в главе 5. Если найдёте ошибки - пишите в комментариях.




Полумонеты: Отрицательные вероятности



Габор Дж. Секей

Государственный Университет Боулинг Грин, Боулинг Грин, Огайо
Венгерская академия наук, Будапешт, Венгрия

Аннотация: Полумонеты - странные предметы с бесконечным числом сторон. Стороны пронумерованы числами 0, 1, 2, ... и положительные четные числа выпадают с отрицательной вероятностью. Две полумонеты составляют полную монету в том смысле, что если мы подбрасываем две половины монеты, то сумма результатов равна 0 или 1 с вероятностью 1/2, как если бы мы просто подбросили обычную монету. В этой статье мы разъясняем значение и интерпретацию отрицательных вероятностей и иллюстрируем их важность в финансах.

1. Колмогоровская «Библия»



Примерно в то время, когда Колмогоров опубликовал свою самую влиятельную книгу в 1933, нобелевский лауреат по физике Э. Вигнер в 1932 высказал следующую мысль: в квантовой теории объединенная функция плотности вероятности P(x, p) местоположения и импульса частицы не может быть всюду неотрицательной, поскольку она всегда вещественна, но её интеграл по всему пространству равен 0. Еще один нобелевский лауреат — физик П. Дирак (1942) также подчеркивал необходимость отрицательных вероятностей. Мы можем продолжить этот список физиков фамилиями Р. П. Фейнмана (1987), М. С. Бартлетта (1945) и т. д., но взгляды плеяды выдающихся физиков не затронули сердца математиков. Для математиков понятие вероятности кодифицировано в «Библии» Колмогорова, поэтому вероятности — это вещественные числа в интервале [0,1]. Всё остальное не имеет смысла «по определению». Большинство экспертов утверждают, что даже если бы мы могли расширить определение вероятности на отрицательные числа, никто не будет их использовать, поскольку отрицательные вероятности просто не имеют применений.

В этой статье мы увидим, что с математической точки зрения отрицательная вероятность является естественными расширениями классической вероятности, также как отрицательные числа являются естественными расширениями неотрицательных. Мы покажем, что для использования отрицательных вероятностей, нам не нужно покидать «рай» теории Колмогорова. Все, что нам нужно, это использовать теорию более гибким способом. Чтобы показать применимость отрицательных вероятностей мы обсудим пример в области финансов. Этот пример показывает тесную связь между отрицательными вероятностями и дебетом и кредитом в банковском учёте.

2. Что такое полумонета?



Давайте начнем наше путешествие в мир отрицательных вероятностей с честной монеты. У неё есть две стороны: орёл и решка. Мы можем обозначить их 0 и 1. Честные монеты — это случайные величины, которые принимают значения 0 и 1 с одинаковой вероятностью 1/2. Наиболее удобный аналитический инструмент для изучения сложения значений, выпавших при независимых бросках монет, или любых других целочисленных случайных величин - это производящая функция случайной величины (ПФСВ). Эта функция определяется как сумма степенного ряда f(z) = ∑n pnzn, где pn — вероятность появления целого числа n. ПФСВ. честной монеты f(z) = 1/2 + z/2. Если мы отбросим условие неотрицательности чисел pn и оставим только требование нормированности последовательности pn (то есть ∑pn =1 и ∑n |pn| < ∞), то, в этом случае, будем называть f (z) просто производящей функцией (ПФ), а (pn) — обобщенные распределением. В том же смысле мы будем говорить и об обобщенных случайных переменных.

Абсолютная сходимость ∑n|pn| < ∞ гарантирует, что обобщенная случайная величина X, которая принимает значение n с вероятностью pn, может быть интерпретирована как классическая случайная величина, которая принимает значение n с частотой ≈|pn|/∑n=0..∞|pn|. Поскольку pn могут быть меньше нуля, то нам нужно как-то интерпретировать это необычное явление. Мы вернемся к этой проблеме в конце статьи.

Сложению независимых случайных величин соответствует умножение их ПФСВ (см., например, W. Feller 1967 Ch. XI.), таким образом, ПФСВ суммы двух честных монет составляет (1/2 + z/2)2 = 1/4 + z/2 + z2/4. Таким образом, кажется естественным определить половину монеты с помощью обобщенной ПФ
image001(1) 
Согласно биноминальной теореме
image002
Мы можем избавиться от несколько странной функции сочетаний из 1/2 по n image003 с помощь чисел Каталана, определяемых по формуле
image004
Числовая последовательность Каталана 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, ... встречается в очень многих, казалось бы, несвязанных ситуациях (см. H. W. Gould 1985). Запишем
image005
Таким образом, полумонеты являются случайными переменными, которые принимают значение n с вероятностью
image006
(C−1 = -1/2 — по соглашению).

Эта формула свободна от странной функции сочетаний image007 , но у нее появляется еще более мистическое свойство. В суммируемой последовательности каждый второй элемент (означающий каждую вторую вероятность) отрицателен.

Подставим в формулу (1) z = 1 и получим, что ∑npn = 1. Нам также нужно проверить, что ∑n|pn| < ∞. Подставим в ту же формулу (1) z = -1 чтобы увидеть, что ∑n=0..∞ (-1)npn = 0, следовательно, ∑n=1..∞|pn| = p0  = 1/√2 = √2/2 и ∑n=0..∞|pn| = √2

3. Части жульнических монет



ПФСВ жульнической монеты — p + qz, где 0 < p = 1 - q < 1.

Половина этой монеты может быть определена через обобщенную ПФ √ p + qz.  Разложение Тейлора для этой ПФ
image008
показывает, что при p ≥ q последовательность вероятностей со знаком
image009
является абсолютно сходящейся.

То же самое верно для кубического корня или любого другого n-го корня из p + qz. Таким образом, имеет смысл говорить не только о половине монеты, но и о трети монеты и т. д. Точно так же мы можем иметь дело с половиной, третью, и т.д. игральной кости с таким количеством граней, какое мы пожелаем. Обобщенная игральная кость с n + 1 гранями (n = 1, 2, ...) является случайной величиной X принимающей значения 0, 1, ..., n таким образом, что последовательность вероятностей P(X = k) = pk> 0 k = 0, 1, ... n является невозрастающей. Нетрудно показать, что для каждого m = 1, 2, 3, ... можно говорить об m-ной части обобщенной игральной кости в том смысле, что если f(z) = ∑k=0..n pkzk является ПФСВ обобщённой игральной кости и
image010
то для m = 2, 3, ...
image011

4. Основная теорема отрицательных вероятностей



В последовательности вероятностей pn, n = 1, 2, ... выпадений полумонеты каждое второе число — отрицательное. Имеет ли это какой-то смысл? Имеют ли обобщенные случайные переменные какое-то практическое значение? Альфред Норт Уайтхед сказал: «Моя точка зрения на ноль заключается в том, что он не нужен в повседневной жизни. Никто не ходит на рынок, чтобы купить ноль рыб». Точно так же, в повседневной жизни мы не можем убрать полосу в пять акров с поля в три акра, но ничто не мешает нам вычесть пять из трёх. В этом разделе мы докажем, что наши мистические случайные величины имеют такое же «операционное значение», что и отрицательные числа в арифметике.

Суммированию независимых случайных величин соответствует произведение их ПФСВ. Не так давно мы доказали (см. I. Z. Ruzsa и G. J. Székely 1983 или I. Z. Ruzsa и G. J. Székely 1988) следующую основную теорему: для каждой обобщенной ПФ (со знаковым распределением вероятности) f существует две ПФСВ (обычных неотрицательных распределений вероятности) g и h, таких, что произведение fg = h.

Таким образом, если f является обобщенной ПФ полумонеты, четверти игральной кости (или любого другого подходящего мистического объекта) С, то мы всегда можем найти две обычные монеты, две обычные кости (два обычных предмета со случайным поведением) C1, C2 такие, что если мы будем подбрасывать С и С1, то суммы выпавших на них значений будут равны значениям С2. В этом смысле каждое обобщенное (со знаком) распределение является своего рода разностью (так называемой «сверточной разностью») двух обычных (беззнаковых) вероятностных распределений. Этот результат оправдывает применение вероятностей со знаком в том же смысле, в ком мы используем отрицательные числа.

5. Применение отрицательной вероятности в финансах



В теории интересов (см., например, S. G. Kellison 1991) традиционно используются следующие обозначения. Платежи в моменты времени t = 1, 2, ..., n обозначаются как R1, R2, ..., Rn, а скидочный коэффициент равен v = (1 + i)-1, где i — эффективная процентная ставка.

Продолжительность выплат по определению
image012
величина d очень похожа на математическое ожидание. Если случайная величина T принимает значения t = 1, 2, ..., n с вероятностями
image013
то d — математическое ожидание T.

В чем преимущество называния весов pt «вероятностями» и средневзвешенного d «математическим ожиданием»? Вероятностная интерпретация предполагает, что в этом контексте могут быть применимы дисперсия T и другие важные вероятностные или статистические понятия.

И они применимы. Например, производная от d по процентной ставке i равна -vσ2, где σ2 — дисперсия случайной величины T. Поскольку оба значения — и v и дисперсия σ2 неотрицательны, d, как функция, не может увеличиваться, и это важное свойство в банковской практике. С другой стороны, имеет смысл предположить, что Rt может принимать отрицательные значения; просто подумайте об отрицательном платеже, который является снятием денег. В этом случае дисперсия σ2 легко может быть отрицательной.  Отрицательные вероятности и отрицательные отклонения напрямую соответствуют отрицательным платежам. Нет ничего более естественного, чем отрицательные платежи. Мы делаем их каждый день, когда снимаем деньги с нашего банковского счета.

6. Операционное значение отрицательных вероятностей



Гаррет Биркгоф, профессор математики в Гарварде, сказал: «Все говорят о Вероятности, но никто не может четко объяснить другим какой смысл имеет Вероятность в его собственном понимании». Бертран Рассел был так же критичен в лекции 1929 года, когда сказал: «Вероятность является наиболее важной концепцией в современной науке, особенно потому, что никто не имеет ни малейшего представления о том, что она означает». В случае отрицательной вероятности её смысл еще менее очевиден.

Кажется полезным, отделить операционное значение вероятности от интерпретации этого значения. Вероятности, даже если они находятся в интервале [0, 1] нуждаются в интерпретации. Например, так называемые «частотисты» интерпретируют вероятности как предел относительных частот событий. «Байесовцы» имеют свою собственную интерпретацию, основанную на соотношении ставок, которые игроки были бы готовы предложить. Мы утверждаем, что операционное значение вероятности (значение, с которым мы можем работать, скажем, складывать или умножать) не обязательно является числом от 0 до 1. Операционное значение может быть отрицательным, комплексным (например, значение функции состояния в квантовой физике) или даже более абстрактным (см. Székely, G. J., 1976). Таким образом мы нуждаемся в интерпретации этих абстрактных «созданий» (аналогично интерпретации Максом Борном сложных функции состояния в квантовой физике). В случае отрицательных вероятностей или знаковых распределений наша фундаментальная теорема, которая упоминается выше, предлагает естественную интерпретацию. Если случайная величина X имеет распределение со знаком, мы всегда можем найти две другие случайные величины Y, Z с обычными (беззнаковыми) распределениями, такие, что X и Y независимы и X + Y = Z в распределении вероятностей. Таким образом, величину X можно интерпретировать как «разность» двух «обычных» величин Z и Y.

Отрицательные вероятности могут иметь и другие интерпретации. Вот прямая и естественная интерпретация. Если (pn) - последовательность вероятностей со знаком, такая, что ∑n|pn| < ∞, то an = |pn| / ∑n|pn| является традиционным неотрицательным распределением вероятностей. Но если pn < 0, то мы не должны забывать, что в операционном смысле pn находится на другой стороне шкалы. Вероятность p< 0, является вероятностью дебетного типа.

Библиография

Barnett, M. S. (1945). Negative probability. Proc. Cambridge Phil. Soc., 41, 71–73.

Dirac, P. A. M. (1942). The physical interpretation of quantum mechanics. Proc. Roy. Soc. London, A 180, 1–39.

Feller, W. (1967). An Introduction to Probability Theory and Its Application . 3d ed. Wiley, New York.

Feynman, R. P. (1987). Negative Probability in: Quantum Implications, Essays in Honor of David Bohm . Eds. B. J. Hiley and F. D. Peat. Roiutledge and Kegan Paul, London, 235–246.

Gould, H. W. (1985). Bell & Catalan Numbers: Research Bibliography of Two Special Number Sequences . Sixth Edition, Morgantown, WV.

Kellison, S. G. (1991). The Theory of Interest . Irwin/McGraw-Hill, Boston.

Kolmogorov, A. N. (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, Berlin. Reprinted: Foundations of Probability Theory . Chelsea, New York (1956).

Ruzsa,I. Z., Székely, G. J. (1983). Convolution quotients of nonnegative definite functions. Monatsthefte für Mathematics 95, 235–239.

Ruzsa,I. Z., Székely, G. J. (1988). Algebraic Probability Theory. Wiley, New York.

Székely, G. J. (1976). Probabilities in operator structures. Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Math. 19, 141–142.
(2005, to appear) Székely, G. J. and Rizzo, M. L. The Mathematical Psychology of Finance. Springer, New York.

Wigner,E. (1932) Phys. Rev. 4 40 0, 749. see also in Quantum-mechanical distribution functions revisited. in: Perspectives in quantum theory. Eds Yourgrau, W. and , A.van der Merwe, MIT Press, Cambridge MA (1971).
Tags: математика
Subscribe

  • Олимпиада

    Если когда-нибудь ваши внуки спросят вас: В каком году проходила Олимпиада 2020 года? — смело отвечайте: В 2021 году, поскольку ковид повлиял не…

  • Калёными клещами

    В современной хирургии калёные клещи называются стерилизованными.

  • Комплекс неполноценности

    Ему всю жизнь чего-нибудь не додавали. В семье он был средним ребёнком. Отец любил старшего, мама младшую и оба они не додавали ему родительской…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments