Что вижу - о том пою (aragont) wrote,
Что вижу - о том пою
aragont

Categories:

Бог и фрактальная геометрия

Однажды мне на глаза попалась средневековая картинка, на которой был изображён Бог - геометр, измерявший с помощью циркуля сложную геометрическую фигуру. Глянув на эту фигуру, я сразу понял - это же фрактальное множество Мандельброта, которое является одним из популярных источников "математической живописи".

Я не один такой. Если задать в Гугле фразу "множество Мандельброта бог геометр", то можно найти множество любителей математики, которые также как и я увидели в этой картинке множество Мандельброта, и также удивились. Удивились потому, что до середины XX века никто кроме Бога (включая Бенуа Мандельброта) не знал, как выглядит множество Мандельброта!

God_the_Geometer

mandelbrot-detail

В отличие от синусов, косинусов, парабол, окружностей и других геометрических фигур, для построения множества Мандельброта не существует уравнения, которое можно было бы решить и перенести на бумагу. Для его вычисления необходимо разбить бумагу на клеточки и к координатам центра каждой клеточки много-много раз применить одну и ту же формулу перемещения. Если после бесконечного количества перемещений центр клеточки останется внутри неё же, то этот центр принадлежит множеству Мандельброта. Если же он унесется в бесконечность - значит нет.

Множество Мандельброта фрактально, а это значит, что у него нет точных границ. Если мы захотим посмотреть на него поподробнее и разобьём каждую клеточку на несколько более мелких, нам необходимо будет повторить наши бесконечные вычисления для центра каждой новой мелкой клеточки. Из того, что центр изначальной клетки принадлежал множеству, не следует, что центры его частей тоже будет этому множеству принадлежать. Бесконечность вычислений несколько смущает, но у множества Мандельброта есть приятное свойство: чем ближе точка к множеству, тем дольше она продержится рядом с ним, а точки, улетевшие вдаль, при последующих вычислениях никогда не возвращаются. Таким образом, проведя сотню вычислений в каждой точке мы отсеем самые дальние, через тысячу - отсеются те, что поближе. Через миллион вычислений довольно уверенно можно будет сказать, какие из клеток хотя бы своей частью находятся внутри множества.

На самом деле, одной из заслуг Бенуа Мандельброта является то, что он договорился с программистами, которые написали программу, посчитавшую миллионы перемещений для каждой клетки; запустили эту программу на своём большом компьютере (ПК ещё не существовало) и распечатали картинку на чёрно-белом принтере. Кстати, среди иллюстраций к книге есть картинка, похожая на фотографию взрыва. Оказалось, что это просто результат ошибки в программе, которая должна была считать множество. Иллюстрация так и подписана: THE COMPUTER "BUG" AS ARTIST, OPUS 1 (Компьютерный "баг" - художник).

В то время Мандельброт не увидел красивых картинок с цветными волнами, которые вы видите в интернете. Само множество - это одноцветная фигура, составленная из нескольких кругов и шипастых отростков, которая находится в центре изображения. Красивые разноцветные полоски с разных сторон этой фигуры, это условное обозначение для скорости разлёта точек вокруг множества. Например, красный цвет - это точки, которые улетели в бесконечность за сто шагов вычислений, зелёный цвет - улетевшие за тысячу шагов, синий - за миллион. В книге Мандельброта есть что-то похожее, но, поскольку принтер, на котором печатались изображения, был чёрно-белым, то на иллюстрацию попало только четыре уровня: чёрный, белый и два оттенка серого.

Таким образом средневековые художник, в принципе, не мог ничего знать о том, как выглядит множество Мандельброта. Даже сам Мандельброт вряд ли мог предсказать возможности своего множества по порождению красивых волн в компьютерной графике. Тем не менее, данная картинка использовалась в качестве цветной иллюстрации в знаменитой книге Мандельброта "Фрактальная геометрия природы", изданной в 1977 году (русский перевод 2002 г.). Правда, в этой книге он не сравнивает фигуру на иллюстрации с множеством своего имени, а приводит её как пример изображения природы, в которой вихри разного размера играют такую же важную роль как и "правильные" геометрические фигуры: окружности, треугольники, и синусоиды, которые изучались геометрами с древности по наше время. Подпись к иллюстрации в книге Мандельброта гласит: "Here God creates circles, waves, and fractals" (И создал Бог круги, волны и фракталы).

Сам Мандельброт пишет в своей книге:

"Это фронтиспис из знаменитой Библии, написанной между 1220 и 1250 годами на восточно-шампанском диалекте французского языка. Сейчас он находится в Австрийской национальной библиотеке в Вене (код 2554) и выпускается с любезного разрешения библиотеки. Подпись <в Библии> гласит: ICI CRIE DEX CIEL ET TERRE SOLEIL ET LUNE ET TOZ ELEMENZ (ЗДЕСЬ БОГ СОЗДАЕТ НЕБО, ЗЕМЛЮ, СОЛНЦЕ, ЛУНУ И ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ).

В этом недавно созданном мире мы видим три вида форм: круги, волны и «покачивания». На исследования кругов и волн потрачены огромные усилия, которые составляют саму основу науки. В то же время, «покачивания» остались практически неизученными. Цель настоящего эссе состоит в том, чтобы решить задачу построения естественной геометрии «покачиваний», которые мы называем «фракталами».

Наиболее привлекательная особенность этой иллюстрации заключается в том, что она предлагает ученому "применять меру к Вселенной". Как применять измерения к кругам и волнам понято уже давно, и потому легко. Но что, если мы применим измерители к «покачиваниям» на этой картине... или к береговой линии на Земле? Результат получится неожиданным. Этот результат обсуждается в главе 5 данной книги, а в последующих главах исследуются его последствия".

Картина для иллюстрации взята из нравоучительной Библии (Bible moralisée https://en.wikipedia.org/wiki/Bible_moralis%C3%A9e), которая была создана в XIII веке. Рукописное издание богато иллюстрировано и, по сути, представляет собой библейские истории в картинках. В 1973 году незадолго до того, как Мандельброт издал свою книгу, тиражом 3000 экземпляров было выпущено шикарное факсимильное издание этой Библии в полный размер (https://youtu.be/r0UoI_XTg7s). Возможно, Мандельброт познакомился с иллюстрацией именно благодаря нему. Факсимильное издание 1973 года можно найти прямо сейчас на eBay по цене 4000$, а альбомы с иллюстрациями из него предлагают по более демократичной цене в 200$.

1973 Fac Simile CODEX-1
Фото с аукционного сайта

Сюжет, которой изображён на рисунке, достаточно прост. Это Бог на третий день творения. Он уже отделил сушу от морей; создал красное Солнце, жёлтую Луну и звёзды на чёрном небе. Если посмотреть на аналогичные изображение из других иллюстрированных библий того времени, то становится понятно, что сходство с множеством Мандельброта оказалось совершенно случайным. Солнце, Луна и Земля образовали фигуру, похожую на само множество Мандельброта, а волны, которые бьются о берег земли, оказались похожи на графическое представления множества убегающих точек, которое сейчас строится с помощью компьютера.

Bible_moralisée_de_Naples_-_BNF_Fr9561_f1r
Неапольская библия

Конечно, кто знает, возможно, художнику было видение множества, которое он перенёс на бумагу, но не с математической точностью, а адаптировав к сюжету, над которым работал.


God_the_Geometer-detail

Mandelbrot_Buzzsaw
Tags: искусство, книги, математика
Subscribe

  • Стереотипы

    По случаю жары во всех магазинах бытовой техники скуплены все вентиляторы. Опоздавшие покупатели получают от продавцов стереотипный ответ: Кончились.…

  • Игра в три камешка

    Нашёл у французского писателя Бернарда Вербера описание отличной игры для нетрезвой компании. Игрокам раздают по три мелкие фишки. Это могут быть…

  • Как подвесить "Проводник"

    Бухгалтерия пожаловалась, что при работе с документами Excel у них периодически зависает "Проводник". Выглядит это так: после нажатия в "Проводнике"…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments